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Institut für Theoretische Physik

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blatt10

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Prof. Dr. G. Hegerfeldt Sommersemester 2001
Dr. M. Weigt Zusatzblatt 10

Übungen zur Elektrodynamik
Abgabe Mittwoch, den 11.7.2001, 12:00 Uhr (Übungskästen)

WICHTIG: Die Bearbeitung dieses Blattes ist freiwillig und für diejenigen gedacht, die noch unter 50% der Punkte der Übungsblätter liegen. Die Aufgaben gehen nicht in den Wettbewerb um die höchste Punktzahl ein.

Die 2. Klausur findet am Freitag, den 13. Juni 2001, von 14-17 Uhr im großen Hörsaal im Windausweg statt.

Aufgabe 28: (Green-Funktion)
a) Sei $G(\vec x, t):= \frac{1}{4\pi r} \delta(t-\frac{r}{c})$, $r=\vert\vec x\vert$. Zeigen Sie durch direktes Nachrechnen (wie in der Vorlesung bei der retardierten und avancierten Lösung)

$$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta\right) G(\vec x, t) = \delta^{(3)}( \vec x)\delta(t)\ .$$

b) Sei $f(\vec x, t)$ eine beliebige Funktion. Zeigen Sie mit (a), dass

$$\psi(\vec x, t) = \int d^3x' \ dt' G(\vec x-\vec x', t-t') f(\vec x', t')$$

die Wellengleichung

$$\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta\right) \psi(\vec x,t) = f( \vec x, t)$$

erfüllt.

Aufgabe 29: (Erzeugung ebener Wellen)
Gesucht sind die elektromagnetischen Felder $\vec E$ und $\vec B$, die im Vakuum entstehen, wenn in der x₂-x₃-Ebene ein räumlich homogener, zeitlich oszillierender Strom in x₃-Richtung fließt,

$$\vec\jmath\ (\vec x,t) = J_0 \exp(-i\omega t) \delta(x_1) \vec e_3\ .$$

Es gelte $\rho(\vec x, t)=0$.
a) Berechnen Sie zunächst das retardierte Vektorpotential für einen Punkt $\vec x = (x_1,0,0)$ auf der x₁-Achse, $x_1\neq 0$. Zur Regularisierung der auftretenden Integrale ersetzen Sie $\omega$ durch $\omega+i\varepsilon$ mit $\varepsilon > 0$, und berechnen den Limes $\varepsilon\to 0$ des entstehenden Vektorpotentials. Anschaulich entspricht das einem (unendlich) langsamen Einschalten des Stroms.
b) Verallgemeinern Sie den Ausdruck des Vektorpotentials mit Hilfe von Symmetrieüberlegungen auf beliebige Orte $\vec x$ außerhalb der x₂-x₃-Ebene.
c) Leiten Sie die elektromagnetischen Felder aus $\vec A$ ab.