Prof. Dr. G. Hegerfeldt Sommersemester 2001
Dr. M. Weigt Blatt 6

Übungen zur Elektrodynamik
Abgabe Mittwoch, den 13.6.2001, 12:00 Uhr (Übungskästen)

Aufgabe 16: a) Zeigen Sie mittels geometrischer Überlegungen, dass beim Übergang von einem Medium 1 zu einem Medium 2 mit $\varepsilon_1<\varepsilon_2$ die Feldlinien an der Grenzfläche vom Lot weg gebrochen werden.
b) Welche Beziehung gilt für die Lotwinkel?
Hinweis: Nutzen Sie die Randbedingungen der Felder.

Aufgabe 17: Gegeben sei ein Kondensator, in den bis zur Höhe h ein Dielektrikum (Dielektrizitätskonstante $\varepsilon$, Gesamtmasse M) hineinragt und der durch eine Batterie auf konstanter Spannung U gehalten wird. Das Dielektrikum sei auf einer Feder der Federkonstanten k gelagert, siehe Abb. 1.
a) Berechnen Sie die (freie) Flächenladungsdichte und Gesamtladung auf den Kondensatorplatten (Normalkomponente von $\vec D$, Randeffekte sind zu vernachlässigen).
b) Berechnen Sie die Änderungen $\delta Q$ der Ladung und $\delta W_F$der Feldenergie im Kondensator, wenn h um $\delta h$ geändert wird. Bestimmen Sie die Arbeit $\delta W_B$, die die Batterie leisten muss, um diese Ladungsänderung zu bewirken.
c) Berechnen Sie die Änderung $\delta W_{pot}$ der potentiellen Energie des Dielektrikums (Feder, Schwerefeld). Nehmen Sie dafür an, dass sich das Dielektrikum für U=0 bei h=0 im mechanischen Gleichgewicht befindet. Für welches h gilt bei $U\neq 0$ die Gleichgewichtsbedingung $\delta W_B+\delta W_F+\delta W_{pot}=0$?

 

Abbildung 1: Plattenkondensator mit Dielektrikum

Aufgabe 18: Helmholtz-Spulen sind eine einfache Vorrichtung, mit der in einem vorgegebenen Raumgebiet ein annähernd konstantes Magnetfeld erzeugt werden kann. Dazu sind zwei identische kreisförmige Leiterschleifen vom Radius r parallel zur x-y-Ebene angeordnet, die Mittelpunkte seien $(0,0,\pm a/2)$ mit a=r, siehe Abb. 2. Durch beide Kreise fließe in gleicher Richtung der Strom I.
a) Bestimmen Sie das magnetische Feld entlang der z-Achse.
b) Entwickeln Sie diesen Ausdruck bis zur vierten Ordnung in z. Zeigen Sie insbesondere, dass die ersten drei Ableitungen verschwinden.

 

Abbildung 2: Helmholtz-Spulen

Zusatzaufgabe: Eine Gradientenspule dient der Erzeugung von Magnetfeldern, die möglichst linear vom Ort abhängen. Ihre Anordnung ist ähnlich der der Helmholtz-Spulen mit einem Schleifenabstand $a\neq r$. Die Leiterschleifen werden jetzt in entgegengesetzter Richtung von Strömen $\pm I$ durchflossen.
a) Bestimmen Sie das Magnetfeld auf der z-Achse.
b) Für welchen Wert von a ist das Feld in der Nähe von z=0nahezu linear? Um welchen Prozentsatz weicht für dieses a das Feld bei $z=\pm 0.7a$ von einem linearen Feld ab?