Prof. Dr. G. Hegerfeldt Sommersemester 2001
Dr. M. Weigt Blatt 8

Übungen zur Elektrodynamik
Abgabe Mittwoch, den 27.6.2001, 12:00 Uhr (Übungskästen)

Aufgabe 22: (Brechungsgesetz nach Snellius) In den Halbräumen x₁<0 bzw. x₁>0 seien $\mu_1,\varepsilon_1$bzw. $\mu_2,\varepsilon_2$ gegeben. Es gelte $\mu_1 \varepsilon_1 < \mu_2 \varepsilon_2$. Im Halbraum x₁<0 fällt eine eben Welle auf die Grenzfläche x₁=0. Zeigen Sie, dass aus den Maxwellgleichungen und den Randbedingungen folgt, dass zugleich eine reflektierte Welle im Halbraum x₁<0 und eine gebrochene Welle im Halbraum x₁>0 auftreten. Welche Gesetzmäßigkeit besteht zwischen den Winkeln, die diese drei Wellen mit der Flächennormalen der Grenzfläche bilden?
Hinweis: Die Randbedingungen auf der Grenzfläche sind die gleichen wie in der Elektrostatik bzw. Magnetostatik

Aufgabe 23: (Totalreflexion) In den Halbräumen x₁<0 bzw. x₁>0 seien $\mu_1,\varepsilon_1$bzw. $\mu_2,\varepsilon_2$ gegeben. Es gelte $\mu_1 \varepsilon_1 > \mu_2 \varepsilon_2$. Im Halbraum x₁<0 fällt eine eben Welle der Form

$$\vec E^{(I)}(\vec x,t)=E^{(I)}\vec e_2 \cos(k_1x_1+k_3x_3-\omega t)$$

auf die Grenzfläche. Der Winkel zwischen $\vec k = (k_1,0,k_3)$ und der Flächennormalen sei $\alpha$, und es gelte $\sin^2(\alpha)> \frac{\mu_2\varepsilon_2}{\mu_1\varepsilon_1}$ . Zeigen Sie, dass aus den Maxwellgleichungen und den Randbedingungen für die reflektierte Welle $\vec E^{(R)}$ und die transmittierte Welle $\vec E^{(T)}$folgt:

$$\vec E^{(R)}(\vec x,t)=E^{(R)}\vec e_2 \cos(-k_1x_1+k_3x_3-\omega t)$$

$$\vec E^{(T)}(\vec x,t)=E^{(T)}\vec e_2 e^{-\kappa x_1}\cos(k_3x_3-\omega t)\ .$$

Bestimmen Sie $\kappa>0$ und diskutieren Sie das Ergebnis.

Aufgabe 24: Gegeben seien eine linear polarisierte elektromagnetische Welle mit

$$\vec E^{(l)}(\vec x,t)=E\vec e_2\cos(\frac{\omega}{c}x_1-\omega t)$$

und eine zirkular polarisierte Welle mit

$$\vec E^{(z)}(\vec x,t)=E\left[\vec e_2\cos(\frac{\omega}{c}x_1-\omega t) +\vec e_3 \sin(\frac{\omega}{c}x_1-\omega t)\right]\ .$$

a) Berechnen Sie mit Hilfe der Maxwellgleichungen im Vakuum die zugehörigen magnetischen Felder $\vec B^{(l)}(\vec x, t)$ und $\vec B^{(z)}(\vec x,t)$.
b) Visualisieren Sie mittels MuPAD das Fortschreiten dieser Wellen, indem Sie $\vec E^{(l)}$ und $\vec E^{(z)}$ entlang der x₁-Achse als Funktion von $\frac{\omega \vec x}{c}=(\frac{\omega x_1}{c},0,0)$ im Intervall $\frac{\omega x_1}{c}\in (-2\pi,2\pi)$ für die zwei Zeitpunkte $\omega t=0/ 1$ plotten.
Hinweis: Für $\vec E^{(l)}$ genügt ein Plot in der x₁-x₂-Ebene. $\vec E^{(z)}$ kann mit dem Befehl plot3d parametrisch dargestellt werden. Vektoren werden durch das graphische Primitiv polygon definiert, der Übersichtlichkeit halber können die Pfeilspitzen weggelassen werden. Weitere Infos können Sie auf den Hilfeseite von MuPAD unter ?plot3d finden.

Zusatzaufgabe: (allgemeine Lösung der freien Maxwellgleichungen) In der Coulomb-Eichung kann man $\phi(\vec x,t)=0$ wählen, wenn $\rho=0$ und $\vec \jmath=0$ gelten. Zeigen Sie mit Hilfe der Fouriertransformation, dass dann die allgemeine Lösung für $\vec A(\vec x,t)$ im polarisierbaren Medium $(\mu,\varepsilon)$ von der Form

$$\begin{eqnarray*}\vec A(\vec x,t) &=&\sum_{\lambda=1}^2 \int_{-\infty}^\infty \f... ...{\lambda} (\vec k) e^{i(\omega t-\vec k \cdot \vec x)} \right\} \end{eqnarray*}$$

ist (Der Vorfaktor ist Konvention, wird aber so in der Quantentheorie benötigt). Dabei gilt

$$\omega(k)=\frac{ck}{\sqrt{\varepsilon\mu}}\ ,~~~~ k=\vert\vec k\vert~,$$

und für jedes $\vec k$ sind $\vec \epsilon^{\ (1)}(\vec k)$ und $\vec \epsilon^{\ (2)}(\vec k)$ zwei reelle Einheitsvektoren, die mit $\vec k$ ein rechtsgerichtetes Orthonormalsystem bilden. Die komplexwertigen Funktionen $a_1(\vec k)$ und $a_2(\vec k)$ sind frei wählbar. Wie sehen die zugehörigen $\vec E$ und $\vec B$ aus? Wie sieht die Lösung aus, wenn man zirkular polarisierte ebene Wellen benutzt?