Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann Blatt 1
Übungen zur Thermodynamik und Statistik
Ausnahmsweise: Abgabe in 2 Wochen
Abgabe am Montag, den 22. April 2002 (2 Wochen!), 11:00 Uhr (Übungskästen)
Aufgabe 1: Normalverteilung, Stirling Formel (12 Punkte)
- Berechnen Sie das Integral
Tip: Berechnen Sie
in Polarkoordinaten.
- Berechnen Sie Mittelwert und Varianz
der Gaußverteilung mit
Wahrscheinlichkeitsdichte
- Ausgangspunkt ist die Darstellung für
die Fakultät durch die Gamma-Funktion.
Berechnen Sie eine Abschätzung
für
, indem Sie das Integral durch den Wert des
Integranden am Maximum
abschätzen (Sattelpunktsapproximation).
- Passen Sie nun den Integranden
in der Nähe des Maximums bis zur zweiten Ordnung an
an und beweisen Sie damit die
Stirlingsche Formel
.
Aufgabe 2: Zentraler Grenzwertsatz zu Fuß (14 Punkte)
Seien
gleichverteilt in
und sei
- Berechnen Sie die
Erwartungswerte
für
- Berechnen Sie die
Erwartungswerte
für
- Erstellen Sie ein kurzes C Programm, das
Zufallszahlen
erzeugt. Wählen Sie
so, dass
die Varianz 1 ist.
Das Programm soll in der folgenden Form aufrufbar
sein:
zufall <N> <J>
Das Programm sollte ein normiertes Histogramm im Bereich
mit 100 Elementen erstellen und als Liste
,Häufigkeit im Intervall
ausgeben.
- Erzeugen
Sie Daten für
mit
und plotten Sie die Histogramme
in gnuplot zusammen mit der Normalverteilung linear, und
einfach-logarithmisch (y-Achse) .
Aufgabe 3: Erzeugung der Normalverteilung (15 Punkte)
- Sei Zufallsgröße
exponential
verteilt mit Parameter
(
). Sei
. Wie lautet die
Wahrscheinlichkeitsdichte
von
?
- Seien
und
normalverteilt mit
. Stellen Sie
in Polarkoordinaten
dar. Wie lautet die
gemeinsame Verteilung
? Sind
unabhängig?
Hinweis: Falls
ist
mit
die Jacobideterminante der inversen Transformation.
- Wie
kann man also Gauß-verteilte Pseudozufallszahlen mit Mittelwert
und Varianz
erzeugen?
- Erstellen Sie ein kurzes C Programm, das
Zufallszahlen
erzeugt, die gemäß der Gaußverteilung
verteilt sind. Das Programm soll in der folgenden Form aufrufbar
sein:
gauss <N> <sigma>
Das Programm sollte ein normiertes Histogramm im Bereich
mit 100 Elementen erstellen und als Liste
,Häufigkeit im Intervall
ausgeben.
- Erzeugen
Sie Daten für
mit
sowie
. Plotten Sie die Histogramme mit Hilfe von Gnuplot zusammen mit
den Dichten
in linear sowie einfach logarithmischer
Darstellung (y-Achse).
Hinweis: Bitte achten Sie darauf, dass Ihre Lösungen stets mit
Ihrem Namen und der Nummer Ihrer Übungsgruppe beschriftet
und zusammengeheftet sind. Werfen Sie die Lösungen am Montag jeweils
bis spätestens 11:00 Uhr in die dafür bestimmten Kästen ein! Die
Kästen werden um diese Zeit geleert, und die Lösungen unmittelbar an
die Leiter der einzelnen Übungsgruppen weitergegeben. Senden Sie bis
zum gleichen Zeitpunkt Ihre erstellten Programme per email an Ihren Betreuer.
Diese Beschreibung in PostScript
hartmann
Mon Apr 8 10:46:04 CEST 2002