Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann Blatt 5
Übungen zur Thermodynamik und Statistik
Abgabe am Montag, den 27. Mai 2002, 11:00 Uhr (Übungskästen)
Achtung, Achtung:
- Die erste Klausur findet am 15. Mai von 15.00 bis 18.00 im ZHG 102 statt.
Erlaubte Hilfsmittel: keine.
- Wegen der Klausur und der Pfingstwoche ist die Abgabe dieses
Blattes später (s.o.).
- Der Stoff dieses Blattes ist aber trotzdem klausurrelevant.
- Übungsgruppe 3 (Wolfgang Barthel) findet am Mittwoch den 8. Mai
nicht statt. Interessierte können entweder zur parallel
stattfindenden Gruppe 1 (Henning Löwe) oder zum Sondertermin
Freitag den 10. Mai um 9.15 in den Preprintraum kommen.
Aufgabe 12: Großkanonische Gesamtheit (13 Punkte)
Leiten Sie die Verteilungsfunktion der großkanonischen Gesamtheit auf
alternativen Wege her. Betrachten Sie dazu ein Übersystem von
physikalisch gleichwertigen
Systemen jeweils im Kontakt mit einem Wärmebad bei Temperatur
und
einem Teilchenreservoir bei chemischen Potential
. Jedes System habe
bei Zeichenzahl
die diskreten Energien
mit Eigenzuständen
. Sei
die Anzahl der Systeme im Zustand
.
Ziel ist es zu zeigen, dass sich für
im Fall
die
Verteilung der großkanonischen
Gesamtheit ergibt. Verwenden Sie dazu, dass in diesem Fall die Gesamtenergie
und die Gesamtteilchenzahl
asymptotisch scharf werden (also als
konstant angesehen werden können), ebenso natürlich die Zahl
der Systeme.
Schrittweise:
- Bestimmen Sie die Zahl
der Realisierungsmöglichkeiten
für eine Verteilung
der
Systeme auf die Zustände. Geben Sie
die Randbedingungen an.
- Aufgrund der großen Teilchenzahl
ist die Verteilung von
stark
gepeakt. Daher wird immer mit extrem hoher Wahrscheinlichkeit
die wahrscheinlichste Verteilung realisiert sein. Also:
Maximieren Sie
und arbeiten Sie die drei
Randbedingungen für
mit Hilfe von Lagrangeschen Multiplikatoren
ein. Was ergibt sich für
?
TIP 1: Maximieren Sie
, d.h.
.
TIP 2: Verwenden Sie die Stirling Formel.
- Berechnen Sie die Lagrangeschen
Multiplikatoren. Verwenden Sie dazu,
dass das Phasenvolumen
des Gesamtsystems wegen der
Schärfe der Verteilung ungefähr gleich
ist, also
. Verwenden Sie weiterhin (mikrokanonische
Betrachtung)
und
sowie
die Randbedingung für
.
TIP: Setzen Sie in
das oben Ergebnis für
ein, nicht aber für
(d.h. wo kein
steht)
und verwenden Sie nochmal die Randbedingungen.
Aufgabe 13: Gittergas (14 Punkte)
Betrachten Sie folgendes einfaches Modell für ein Gas: ein Gitter mit
Gitterplätzen. Auf jedem Gitterplatz können keines, eines oder
maximal zwei Teilchen Platz finden. Seien
die Zahl der Plätze
mit
Teilchen. Die Teilchen seien ununterscheidbar.
Es gebe eine abstoßende Wechselwirkung zwischen den
Teilchen, modelliert durch die Energie
. Das Modell
soll mit Hilfe der großkanonischen Zustandssumme gelöst werden.
- Zeigen Sie, dass die Zahl
der Realisierungsmöglichkeiten für
einfach besetzte Plätze
beträgt. In welchen Grenzen läuft die Summe über
?
- Zeigen Sie, dass sich für die
großkanonische Zustandssumme
ergibt, wobei
die
Fugazität ist.
TIP: Verwenden Sie zweimal
.
- Berechnen Sie die
Energie
pro Gitterplatz
und die Konzentration
der Teilchen als Funktion von
und
.
Hinweis: Bitte achten Sie darauf, dass Ihre Lösungen stets mit
Ihrem Namen und mit Name des Leiters und
Nummer Ihrer Übungsgruppe beschriftet
und zusammengeheftet sind. Werfen Sie die Lösungen am Montag jeweils
bis spätestens 11:00 Uhr in die dafür bestimmten Kästen ein! Die
Kästen werden um diese Zeit geleert, und die Lösungen unmittelbar an
die Leiter der einzelnen Übungsgruppen weitergegeben. Senden Sie bis
zum gleichen Zeitpunkt Ihre erstellten Programme per email an Ihren Betreuer.
Diese Beschreibung in PostScript
hartmann
Sat May 4 16:59:07 CEST 2002