Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann 15.Mai 2002

Klausur 1

Aufgabe 1: Erzeugung von Zufallszahlen (12 Punkte)

1. Wie kann man Zufallszahlen ($x$) erzeugen, die gemäß der Exponentialverteilung mit Dichte $p_{\lambda}(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ($x\ge 0$, $\lambda>0$) verteilt sind?
2. Berechnen Sie die Dichte $q_{\lambda,2}(x)$ der Summe zweier mit Parameter $\lambda$ exponentiell verteilter Zufallszahlen, indem sie das Integral $\int_0^x p_{\lambda}(z)p_{\lambda}(x-z)dz$ ausrechnen.
3. Zeigen Sie per vollständiger Induktion, dass die Dichte der $n$-fachen Summe von mit Parameter $\lambda$ exponentiell verteilten Zufallszahlen die Gamma-Verteilung $q_{\lambda,n}(x)=\frac{e^{-\lambda x}\lambda^nx^{n-1}}{(n-1)!}$ $(x\ge 0)$ ergibt.
4. Wie erzeugt man Zufallszahlen, die gemäß $q_{\lambda,n}(x)$ verteilt sind?

Aufgabe 2: Mittelwert und Varianz (10 Punkte)

1. Berechnen Sie Mittelwert und Varianz folgender diskreter Zufallsgröße:
   
   
2. Berechnen Sie Mittelwert und Varianz der Exponentialverteilung mit Dichte $p_{\lambda}(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ($x\ge 0$, $\lambda>0$).

Aufgabe 3: Sattelpunktsintegrale (10 Punkte)

1. Begründen Sie, dass im Grenzfall $N\to\infty$ unter der Annahme, dass $g(x)$ an der Stelle $x_0$ sein einziges Maximum hat:

   $$\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} e^{Ng(x)}dx \approx \sqrt{\frac{2\pi}{-Ng^{\prime\prime}(x_0)}}e^{Ng(x_0)}\nonumber \end{eqnarray}$$
   

2. Berechnen Sie $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-N(x-2)^2}(x^2-4x+5)^{-N}dx$ näherungsweise im Grenzfall $N\to\infty$.

Aufgabe 4: Mikrokanonische Gesamtheit (9 Punkte)

Betrachten Sie ein System aus $N$ ($N\gg 1$) lokalisierten $S=\frac{1}{2}$ Spins im Magnetfeld $B\underline{e}_z$. Es seien $N_{\uparrow}$ die Zahl der Spins, die parallel, und $N_{\downarrow}$ die Zahl der Spins, die antiparallel zum Feld ausgerichtet sind. Das System habe die Energie

$$\begin{eqnarray} E & =& -(N_{\uparrow}-N_{\downarrow})\mu_BB=-M\mu_B B.\nonumber \end{eqnarray}$$

1. Zeigen Sie, dass sich in der mikrokanonischen Gesamtheit für die Entropie $S(N,M)=0.5k_B\left[(N+M)\ln\frac{2N}{N+M}+(N-M)\ln\frac{2N}{N-M} \right]$ ergibt.
   TIP: Verwenden Sie die Stirling Formel.
2. Berechnen Sie daraus die Temperatur als Funktion von $N$ und $M$.

Aufgabe 5: Kanonische Gesamtheit (10 Punkte)

Leiten Sie die Verteilungsfunktion der kanonischen Gesamtheit auf alternativem Weg her. Betrachten Sie dazu ein Übersystem von $M$ physikalisch gleichwertigen Systemen jeweils im Kontakt mit einem Wärmebad bei Temperatur $T$. Jedes System habe die diskreten Energien $E_m$ mit Eigenzuständen $\vert m\rangle$. Sei $n_m$ die Anzahl der Systeme im Zustand $\vert m\rangle$.

Verwenden Sie dazu, dass in diesem Fall die Gesamtenergie $E_t$ scharf ist (also als konstant angesehen werden kann), ebenso natürlich die Zahl $M$ der Systeme.

Schrittweise:

1. Bestimmen Sie die Zahl $W(\{ n_m \})$ der Realisierungsmöglichkeiten für eine Verteilung $\{n_m\}$ der $M$ Systeme auf die Zustände. Geben Sie die Randbedingungen an.
2. Maximieren Sie $W$ und arbeiten Sie die zwei Randbedingungen für $M,E_t$ mit Hilfe von Lagrangeschen Multiplikatoren $\lambda_1,\lambda_2$ ein. Was ergibt sich für $n_m$?

3. Berechnen Sie die Lagrangeschen Multiplikatoren. Verwenden Sie dazu, dass das Phasenvolumen $\Gamma(E_t)$ des Gesamtsystems wegen der Schärfe der Verteilung ungefähr gleich $W$ ist, also $\ln\Gamma(E_t) \approx \ln W_{\max}$.

Aufgabe 6: Harmonische Oszillatoren (10 Punkte)

Betrachten Sie $N$ unterscheidbare klassische harmonische Oszillatoren (Masse $m$, Frequenz $\omega$) mit Hamiltonfunktion

$$\begin{eqnarray} H(q_i,p_i)=\sum_{i=1}^N\left( \frac{p_i^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2 q_i^2\right) \end{eqnarray}$$

1. Berechnen Sie die Zustandssumme $Z(T,N)$
   (Ergebnis: $Z(T,N)=(k_BT/\hbar\omega)^N$).
2. Berechnen Sie freie Energie, Entropie und chemisches Potential.

Hinweis: Bitte achten Sie darauf, dass Ihre Lösungen stets mit Ihrem Namen und mit Name des Leiters und Nummer Ihrer Übungsgruppe beschriftet und zusammengeheftet sind.

Es sind keinerlei Hilfsmittel (außer Papier und Schreibmaterial) erlaubt.