Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann 15.Mai 2002
Klausur 1
Aufgabe 1: Erzeugung von Zufallszahlen (12 Punkte)
- Wie kann man Zufallszahlen ()
erzeugen, die gemäß der Exponentialverteilung mit Dichte
(, ) verteilt sind?
- Berechnen Sie die Dichte
der Summe
zweier
mit Parameter exponentiell verteilter Zufallszahlen, indem
sie das Integral ausrechnen.
- Zeigen Sie per vollständiger Induktion,
dass die Dichte der
-fachen Summe von mit Parameter exponentiell verteilten
Zufallszahlen die Gamma-Verteilung
ergibt.
- Wie erzeugt man Zufallszahlen, die gemäß
verteilt sind?
Aufgabe 2: Mittelwert und Varianz (10 Punkte)
- Berechnen Sie Mittelwert und Varianz
folgender diskreter Zufallsgröße:
- Berechnen Sie Mittelwert und Varianz der
Exponentialverteilung
mit Dichte (,
).
Aufgabe 3: Sattelpunktsintegrale (10 Punkte)
- Begründen Sie, dass
im Grenzfall unter der Annahme, dass an der
Stelle sein einziges Maximum hat:
- Berechnen
Sie
näherungsweise im
Grenzfall .
Aufgabe 4: Mikrokanonische Gesamtheit (9 Punkte)
Betrachten Sie ein System aus ()
lokalisierten Spins im
Magnetfeld . Es seien die Zahl der
Spins, die parallel,
und die Zahl der Spins, die
antiparallel zum Feld ausgerichtet sind.
Das System habe die Energie
- Zeigen Sie, dass sich in
der mikrokanonischen Gesamtheit für die
Entropie
ergibt.
TIP: Verwenden Sie die Stirling Formel.
- Berechnen Sie daraus die
Temperatur als Funktion von und .
Aufgabe 5: Kanonische Gesamtheit (10 Punkte)
Leiten Sie die Verteilungsfunktion der kanonischen Gesamtheit auf
alternativem Weg her. Betrachten Sie dazu ein Übersystem von
physikalisch gleichwertigen
Systemen jeweils im Kontakt mit einem Wärmebad bei Temperatur .
Jedes System habe
die diskreten Energien mit Eigenzuständen
. Sei die Anzahl der Systeme im Zustand .
Verwenden Sie dazu, dass in diesem Fall die Gesamtenergie
scharf ist (also als
konstant angesehen werden kann), ebenso natürlich die Zahl der Systeme.
Schrittweise:
- Bestimmen Sie die Zahl
der Realisierungsmöglichkeiten
für eine Verteilung der Systeme auf die Zustände. Geben Sie
die Randbedingungen an.
- Maximieren Sie und
arbeiten Sie die zwei
Randbedingungen für mit Hilfe von Lagrangeschen Multiplikatoren
ein. Was ergibt sich für ?
- Berechnen Sie die Lagrangeschen
Multiplikatoren. Verwenden Sie dazu,
dass das Phasenvolumen des Gesamtsystems wegen der
Schärfe der Verteilung ungefähr gleich ist, also .
Aufgabe 6: Harmonische Oszillatoren (10 Punkte)
Betrachten Sie unterscheidbare klassische harmonische Oszillatoren
(Masse , Frequenz ) mit
Hamiltonfunktion
- Berechnen Sie die Zustandssumme
(Ergebnis: ).
- Berechnen Sie freie Energie, Entropie und chemisches Potential.
Hinweis: Bitte achten Sie darauf, dass Ihre Lösungen stets mit
Ihrem Namen und mit Name des Leiters und
Nummer Ihrer Übungsgruppe beschriftet
und zusammengeheftet sind.
Es sind keinerlei Hilfsmittel (außer Papier und Schreibmaterial) erlaubt.
Diese Beschreibung in PostScript
hartmann
Thu May 16 13:56:22 CEST 2002