Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann Präsenzübungen 2, 17.4.2002

Übungen zur Thermodynamik und Statistik

Dieses Präsenzübungsblatt steht nochmal ganz im Zeichen von C Programmierung und Zufallszahlenerzeugung. Wenn Sie sich trotz C Kurs noch nicht ganz sicher fühlern, nutzen Sie die Präsenzübung um Fragen zu stellen.

Wie auch schon bei Blatt 1, sind die Programme von Blatt 2 leichte Modifikationen des in der Präsenzübung besprochenen Programms, sollten daher also keine große Schwierigkeiten bereiten.

Aufgabe 3: (Monte Carlo Integration)

Gegeben sei eine Funktion $f$, die im Intervall $[0,x_0]$ nicht-negativ und beschränkt sei. Sei $\left(x_{\max},y_{\max}=f(x_{\max})\right)$ das Maximum der Funktion.

1. Seien $X,Y$ Zufallsgrößen, die in $[0,x_0)$ und $[0,y_0)$ gleichverteilt sein. Wie sehen die Dichten $p_X{x}$ und $p_y(Y)$ aus?
2. Sei nun $y_0\ge y_{\max}$. und $H(x,y)\equiv \Theta(f(x)-y) x_0 y_0$. (mit $\Theta(x)=1$ für $x\ge 0$ und $\Theta(x)=0$ sonst.) Was ergibt sich für den Erwartungswerte $\langle H \rangle_{X,Y}$, $\langle H^2 \rangle_{X,Y}$ und für die Varianz Var($H$) = $\langle H^2 \rangle_{X,Y}- \langle H \rangle_{X,Y}^2$?

3. Sei nun $f(x)\equiv -x^2+2x+1$ und $x_0=2$. Wie lautet $(x_{\max},y_{\max})$ und was ergibt sich für $\langle H \rangle_{X,Y}$?

4. Erstellen Sie ein kurzes C Programm, das das Integral $\int_0^2f(x) dx$ nährungsweise für obige Funktion durch Erzeugung von jeweils $N$ Zufallszahlen ausrechnet, die gemäß $p_X(x)$ und $p_Y(y)$ verteilt sind. Das Programm soll in der folgenden Form aufrufbar sein:

   integrate <N> <y0>

   Das Programm sollte $N$ und den Wert des Integrals ausgeben.
5. Angenommen, Sie lassen das Program fur $y_0=1,2,20$ für jeweils $N=10^2,10^3,10^4,10^5$ laufen. Was würden Sie beobachten und wie erklären Sie es sich?
6. Wie müssten Sie das Programm abändern um die Fläche des Einheitskreises (also $\pi$) nährungsweise zu berechnen?