Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann Präsenzübungen 4, 12.6.2002

Übungen zur Thermodynamik und Statistik

Aufgabe 5: (Van der Waals-Gas, Maxwell Konstruktion)

Die Zustandsgleichung des van der Waals-Gases lautet

$$\begin{eqnarray} \left(p+a\frac{n^2}{V^2}\right)(V-nb)=nRT,\nonumber \end{eqnarray}$$

wobei $a,b$ Materialparameter sind.

1. Ist das ideale Gas als Spezialfall enthalten?
2. $V$ als Funktion von $p$ hat offenbar immer 3 Lösungen. Wenn man $p(V)$ plottet (siehe Übungsblatt), sieht man: oberhalb von $T_c$ gibt es eine reelle (und zwei komplexe), unterhalb drei reelle Lösungen. Der kritische Punkt $(T_c,p_c,V_c)$ ist also dadurch gegeben, dass alle drei reellen Lösungen zusammenfallen. Bestimmen Sie den kritischen Punkt.
   TIP: Stellen Sie die Zustandsgleichung als Nullstelle eines Polynoms in $V$ dar.
3. Reskalieren Sie die Variablen $\tilde{p}=p/p_c,v=V/V_c$ und $t=T/T_c$. Was ergibt sich?
4. Für $T<T_c$ gilt teilweise $\frac{\partial V}{\partial p}>0$, was unphysikalisch ist. Erklärung: die Annahme, dass ein Gas in diesem Gebiet homogen vorliegt, ist nicht erfüllt. In diesem Bereich liegt das Gas als Koexistenz zweier Phasen vor. Wenn beide Phasen (1/2) im Gleichgwicht sind, muß $\mu_1(T,p^{\star})=\mu_2(T,p^{\star})$ gelten. Zeigen Sie damit, dass für das Koexistenzgebiet die Flächen A,B an der Geraden $p=p^{\star}$ gleich sein müssen.
   TIP: Verwenden Sie die Gibbs-Duhem Relation für die Gibbsche freie Enthalpie $G=\sum_i \mu_i N_i$, rechnen Sie daraus den Unterschied $F_2-F_1$ der freien Energien zwischen den Phasen aus. Ermitteln Sie diesen Unterschied nochmal aus $dF=SdT-pdV+\mu dN$ durch Integration.
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