Prof Dr. R. Kree Sommersemester 2002
Dr. A. Hartmann Blatt 3
Übungen zur Thermodynamik und Statistik
Abgabe am Montag, den 29. April 2002, 11:00 Uhr (Übungskästen)
Achtung, Achtung:
Wegen mangelnder Nachfrage (ein Anwesender)
wird die Übungsgruppe 3 (Mi 13:15 - 14:45,
neuer Seminarraum) auf Vormittags 9.15 verlegt. (es kamen ja sehr
viele zusätzlich in die Gruppe 1). Bitte alle
in Gruppe 3 eingetragenen (bzw. weitere Interessenten, wenn es nicht
zu viele sind) nächsten Mittwoch in die Gruppe 1 gehen
(also wie gewohnt :-),
dort wird dann bekanntgegeben wo die Gruppe 3 stattfindet
(wahrscheinlich in der Mathematik).
Aufgabe 6:
harmonische Oszillatoren (17 Punkte)
Betrachten Sie ein System von
unterscheidbaren harmonischen
Oszillatoren mit Masse
und Frequenz
. Die Energie des
Systems mit
Quanten ist:
- Berechnen Sie die Anzahl
der Zustände mit Energie
.
TIP: Stellen Sie sich vor, Sie verteilen
Quanten auf
Oszillatoren, indem Sie
Trennwände zwischen die aufgereihten
Quanten stellen.
- Berechnen Sie die Entropie für große
,
verwenden Sie dabei die Stirling Formel.
- Berechnen Sie die Temperatur
und
zeigen Sie damit, dass
.
- Berechnen Sie die Wärmekapazität
.
Was ergibt sich für
für
und für
?
- Plotten Sie für
und
,
(z.B. mit gnuplot) einmal
sowie in einem zweiten Plot
zusammen mit den
endlichen Differenzen
(was numerisch
gesehen eine grobe Nährung für die ABleitung ist) für
im Bereich
.
Aufgabe 7 Spinkette (18 Punkte)
Betrachten Sie das folgenden Modell für einen Ferromagneten,
eine klassische Kette von
Ising-Spins
im äußeren Feld
mit Hamiltonfunktion
Dabei sei der
![$N+1$](img24.png)
-te Spin fixiert auf
![$s_n=1$](img28.png)
. Das Produkt
![$s_is_{i+1}$](img29.png)
heißt die
![$i$](img30.png)
-te
Bond. Die
![$i$](img30.png)
-te Bond heißt
gebrochen falls
![$s_i\neq s_{i+1}$](img31.png)
.
Im folgenden sei
![$B=0$](img32.png)
.
- Malen Sie für
drei
verschiedene Spinkonfigurationen
auf. Symbolisieren Sie die Bonds durch Striche zwischen den Spins,
z.B.
. Markieren Sie die
gebrochenen Bonds. Wieviele Spinkonfigurationen entsprechen einer
Konfiguration von gebrochenen/ungebrochenen Bonds?
- Wieviele Zustände mit
gebrochenen Bonds gibt es?
- Berechnen Sie die Energie
eines Zustandes
mit
gebrochenen Bonds.
- Begründen Sie, warum
die Anzahl der Zustände
zu vorgegebener Energie
ist.
- Berechnen Sie die spezifische Entropie
im thermodynamischen Limes, d.h.
daraus die Temperatur
Ermitteln Sie dann die spezifische
Energie
und daraus die spezifische Wärme
Plotten Sie (z.B. mit gnuplot)
und
für
.
TIP 1: Verwenden Sie die Stirling Formel
. Berechnen Sie damit
für großes
und
beliebigen Faktor
.
TIP 2: Verwenden Sie
für
.
Hinweis: Bitte achten Sie darauf, dass Ihre Lösungen stets mit
Ihrem Namen und der Name des Leiters und
Nummer Ihrer Übungsgruppe beschriftet
und zusammengeheftet sind. Werfen Sie die Lösungen am Montag jeweils
bis spätestens 11:00 Uhr in die dafür bestimmten Kästen ein! Die
Kästen werden um diese Zeit geleert, und die Lösungen unmittelbar an
die Leiter der einzelnen Übungsgruppen weitergegeben. Senden Sie bis
zum gleichen Zeitpunkt Ihre erstellten Programme per email an Ihren Betreuer.
Aufgabe 8: Zustandssumme Spinkette (26 Punkte)
Projektaufgabe: Zwei Wochen Bearbeitungszeit. Abgabe 6. Mai
Betrachten Sie wieder die Kette mit Hamiltonfunktion (2),
diesmal aber mit
Spins, und
Spin
sei der rechte Nachbar von Spin
, d.h. alle
Nachbarn verstehen sich Modulo
(periodische Randbedingungen).
- Zeigen Sie, dass im kanonischen Ensemble
für die Magnetisierung
gilt:
wobei
die freie Energie und
die
kanonische Zustandssumme ist.
- Wie verhält
sich die Rechenzeit eines naiven Verfahrens
für das Berechnen von
als Funktion von
asymptotisch?
- Erstellen Sie ein C Programm,
das die Magnetisierung als Funktion der
Temperatur im Bereich
ermittelt. Berechnen Sie dabei die
Zustandssumme durch Aufzählung aller Zustände!
Berechnen Sie im Programm die Ableitung numerisch als
endliche Differenz
. Verwenden Sie
.
Das Programm soll in der folgenden Form aufrufbar
sein:
partition <N> <B>
TIP: Programmieren Sie die Aufzählung aller Konfigurationen
mittels eine Schleife von
bis
(DRUCKFEHLER IN DER
ALTEN VERSION), und
wandeln Sie dann den Schleifenzähler
in eine Binärzahl um, die Sie
dann als Spinkonfiguration interpretieren:
für
, wobei das in C Code
2*((t >> i)%2) -1
lautet.
- Was ist
für
?
Nutzen Sie das Ergebnis um Ihr
Programm zu testen,
indem Sie sich die Ergebnisse von
für verschiedene
bei
ausgeben lassen und vergleichen.
- Lassen Sie das Programm für
und
laufen.
und plotten Sie die Kurven
für die verschiedenen Werte von
mit logarithmischer
-Achse. Was schließen Sie aus dem Ergebnis?
Diese Beschreibung in PostScript
hartmann
Thu May 30 11:15:28 CEST 2002